Hilbert wollte mit einer einzigen universellen Methode jede mathematische Aussage beweisen oder widerlegen, damit die Mathematik ein für alle Mal vollständig zuverlässig würde. Gödel und Turing bewiesen mathematisch, dass es eine solche Methode nicht geben kann — in jedem hinreichend komplexen System bleiben stets Aussagen übrig, die sich innerhalb des Systems selbst nicht überprüfen lassen. Andere Schulen (nicht die Formalisten, sondern Logiker wie Tarski und Philosophen wie Wittgenstein) kamen unabhängig voneinander zu einem ähnlichen Schluss: Ein System kann seine eigene Grenze nicht von innen betrachten, ohne dabei seine eigenen Regeln zu verletzen.